​数学期望的含义是什么？

数学期望的含义是什么？

简单明了地告诉你结论：期望就是均值。

首先需要明确的一点是：只有随机变量才有期望值。

何谓随机变量？简单地说，一个变量

，它的取值是随机遇而定的，即我们不能预先知道它取值多少。所以自然地，面对一个如此奇怪充满未知的东西，我们希望用某些工具来刻画它，对它的性质有一点点了解，比如用分布函数，比如用期望方差偏度峰度等诸多统计量。

期望定义：

连续型随机变量：

离散型随机变量：

从数学上来说，这两个奇怪的公式实际上就是求加权平均数。从这个定义告诉我们，期望就是平均数，是随机变量各个取值对取这个值的概率的加权平均。如果我们知道

的分布函数，可以通过这个公式算出来它的期望。

但是现实情况往往不会那么好，对于一个随机变量

，我们经过很多次观察，获得了一组观察值

，并且我们对于它的分布不了解，不能直接计算出来期望。所以换一个方法“估计”它的期望。它的期望是多少？它的平均值是多少？我们对这个随机变量的“期待”是多少？在统计学上，这都是一个问题。用同样的思路，那就是取平均了，

，在统计学中，这个样本均值对随机变量期望是无偏估计，即当n充分大的时候，这个估计会和期望“非常非常接近”。

再提到你的例子，扔一个均匀硬币，正面+1分反面-1分，则数学“预期”是0。

设一个随机变量

表示丢硬币的结果，这是一个离散的随机变量，取1和-1的概率都是0.5。其实我们已经知道

的分布了，可以按照公式直接求期望。

但是为了解释清楚什么叫期望，我们还按照上述第二种情况来算。

我们丢了

次硬币，得到了一组观察值

，这里面有1有-1，肯定没有0。

但是随着

增大，根据“非常非常接近”，平均值会趋向于0。所谓预期结果是0，即你独立重复实验很多很多次，平均值会非常接近0。如果不趋向0，我们则有把握说这个硬币不是均匀的。

再照应一下开头：

如果我们知道随机变量的分布，期望就是公式定义的加权平均值。

如果我们不知道分布，只有随机变量的一些观察样本，那么随机变量的期望和样本的均值相差应该不大。

— 完 —